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2006年02月25日

ニュートンの13球問題

金属の結晶構造を考えたときに、最密充填を考えると面心立方格子か六方最密格子になる。このとき一つの球(原子核)に隣接する球の数は12個なのか。最初は8個ではないかと考えていたが、今考え直したらやっぱり12個でいい気がする。ということは、一つの球に接触できる最大数が接触可能となったとき、その結晶は最密充填構造になるということなのだろうか。

2次元、8次元、24次元の場合は、全ての隣接する球は相互に接触し、その間に隙間がないらしい。もちろん、球の接触であるから、隙間ができないわけではないのだが(丸みがあるから)、隣接点は必ず存在することになる。分かりやすい2次元の場合を考えると、接触点同士を直線で結びつける時、正六角形の格子構造が見えてくる。そこから、この格子構造の密度を求めてみると、約90.7%であった。ちなみに3次元の最密充填構造では、約74.0%である。やはり、隣接する球同士の間に隙間ができる分、その密度はかなり低い値になることが分かる。ということは、8次元や24次元の最密構造での密度は結構高いのではないかと期待する。と思って、ググッたらなんかそうでもないらしい。やはり頭の中で8次元空間を想像するのは僕には不可能なようだ。

4次元以上の空間はひも理論によると存在するのだが、想像を逸脱する世界だ。そこでは数学を使って現象を定量的に考察することしか手段がない。実際、ひも理論に出てくる数学はかなり難解で理解に苦しむらしい。しかし、それが世界を成り立たせている基礎原理であるかもしれないから、多くの物理学者が懸命になって、その数学を解いているのだろう。今のところ、超ひも理論がループ量子重力理論と並んで統一理論の候補とされている。そうじゃなければ、物理学者の多くが超ひも理論の難解な数学に果敢に挑むこともなくなっていくのだろう。それが数学者と物理学者の違いということらしい。僕はやっぱり物理学者的思考なんだろう、生物を相手にしているのだから当たり前といえば、当たり前だが…。

投稿者 はるお : 2006年02月25日 03:21

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コメント

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